線形微分方程式　例題と解答 - intさわだんのBlack History

$\displaystyle \frac{dy}{{dx}}+5y=xe^ x, y(0)=\frac{35}{{36}}$

解答
$y(x)=u(x)v(x)$
とする。両辺を微分して
$\displaystyle \frac{dy}{{dx}}=\frac{du}{{dx}}v+u\frac{dv}{{dx}}$
これを与式に代入して
$\displaystyle \frac{du}{{dx}}v+u\frac{dv}{{dx}}+5uv=xe^ x$
uでくくって
$\displaystyle u(\frac{dv}{{dx}} + 5v)+\frac{du}{{dx}}v - xe^ x =0\tag{1}$
式(1)が成立するためには
$\displaystyle \frac{dv}{{dx}} + 5v = 0 \tag{2}$
$\displaystyle \frac{du}{{dx}}v - xe^ x = 0 \tag{3}$
であれば十分である。式(2)は
$\displaystyle \frac{dv}{{v}}=-5dx$
となる。両辺を積分すると
$\displaystyle ln|v|=-5x + c'$
となるので
$|v| = e^ {-5x+c'} = e^ {-5x} e^ {c'} = ce^ {-5x} \tag{4}$
となる。最後の等号では $e^ {c'}=c$ により定数 $c'$ を $c$ におきかえた。 $c$ の値は負でもよいとすると式(4)は
$v=ce^ {-5x} \tag{5}$
となる。式(5)を式(3)に代入すると

眠いから中断してネル